"Nacque da Luigi Codini e Margherita Bertini, ultimo di quattro figli. Di professione muratore, nel 1937 sposò Luigia Morlandi e la coppia si trasferì a Milano, dove Costantino trovò lavoro come manovratore all’Azienda Tranviaria Municipale; nel 1939 nacque il figlio Natale. Dopo l’8 settembre fu molto attivo all’interno dell’ATM per sostenere la Resistenza al regime. Venne arrestato, mentre era in servizio, dagli agenti della Muti il 28 febbraio 1944, accusato di diffondere volantini incitanti allo sciopero che sarebbe iniziato due giorni dopo. Incarcerato per qualche giorno a San Vittore fu caricato sul Trasporto n. 33, diretto a Mauthausen, dove giunse il 13 marzo 1944 insieme ad altri 99 deportati. Gli venne attribuito il numero di matricola 57563 e fu classificato con la categoria Schutz. Trasferito ad Ebensee, dove venne impiegato nello scavo delle gallerie, vi morì il 14 giugno 1944" (Laura Codini).

Questa è una delle tante vittime dei lager nazisti di cui l'artista tedesco Gunter Demnig ha voluto tramandare il nome con le sue Stolpersteine (letteralmente tradotto significa "pietre da inciampo"): si tratta di cubetti di pietra, sparsi nei marciapiedi di tutta Europa, ciascuno con un nome inciso; in Italia ha incominciato da Roma, ricordando ebrei, zingari, omosessuali, antifascisti, carabinieri che da qui furono deportati nei lager e lì morirono di stenti o furono uccisi. La pietra è stata posata il 15/1/2020. Nei thumbnail momenti della cerimonia commemorativa: la tromba suona il Silenzio, ascoltato dai discendenti di Costantino; intervento dell'attuale presidente di ATM (al centro, in blu); commosse parole della nipote Laura Codini (che è stata mia allieva al Liceo).
Era già ricordato qui in una targa assieme a due suoi coinquilini, anch'essi morti nei lager.
Il suo nome è incluso anche nelle liste di caduti ATM dei depositi di via Messina e di via Forze Armate.